Itziar Molina Sangüesa
Letras, números e incógnitas:
estudio de las voces aritmético-algebraicas
del Renacimiento
LINGÜÍSTICA IBEROAMERICANA VOL. 66
DIRECTORES :
MARIO BARRA JOVER, Université Paris VIII
IGNACIO BOSQUE MUÑOZ, Universidad Complutense de Madrid,
Real Academia Española
ANTONIO BRIZ GÓMEZ, Universitat de València
GUIOMAR CIAPUSCIO, Universidad de Buenos Aires
CONCEPCIÓN COMPANY COMPANY, Universidad Nacional Autónoma de México
STEVEN DWORKIN, University of Michigan, Ann Arbor
ROLF EBERENZ, Université de Lausanne
MARÍA TERESA FUENTES MORÁN, Universidad de Salamanca
DANIEL JACOB, Albert-Ludwigs-Universität, Freiburg im Breisgau
JOHANNES KABATEK, Universität Zürich
EUGENIO R. LUJÁN MARTÍNEZ, Universidad Complutense de Madrid
RALPH PENNY, University of London
Letras, números e incógnitas: estudio de las voces aritmético-algebraicas del Renacimiento
Iberoamericana · Vervuert · 2017
Estas investigaciones se han podido llevar a cabo gracias a la ayuda predoctoral FPU, concedida en 2011 por el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte (Ref.: AP2010-3663). Asimismo, la publicación de esta obra ha sido posible gracias a la ayuda económica recibida del proyecto I+D+i: “El Diccionario de la Ciencia y de la Técnica del Renacimiento (DICTER): implantación definitiva en la Red” (FFI2013-41386-P), financiado por la Dirección General de Investigación del Ministerio de Economía y Competitividad.
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ISBN 978-3-95487-595-5 (Vervuert)
ISBN 978-3-95487-596-2 (e-book)
Diseño de la cubierta: Carlos Zamora
A mi familia
Presentación
Prólogo de María Jesús Mancho Duque
I. Las matemáticas en el Renacimiento hispano
1. Marco histórico-cultural
1.1. La necesidad y utilidad de las matemáticas
1.2. Las aplicaciones matemáticas
1.2.1. Academia Real Mathemática
2. La aritmética renacentista
2.1. Aritmética teórica: un saber elitista de las universidades
2.2. Aritmética práctica: un saber aplicado a las necesidades sociales
2.2.1. Orígenes: Liber abaci de Fibonacci (1202)
2.2.2. Abacistas vs. algoristas: una disputa del Renacimiento
3. El álgebra en el Quinientos hispano: un saber nuevo
3.1. Génesis: entre Oriente (al-Khwārizmī) y Occidente (Diofanto)
3.2. Evolución de la disciplina
3.2.1. Influencia euclídea: el libro X de los Elementos
3.2.2. Influencia italiana: la Summa de Luca Pacioli (1494)
3.2.3. Influencia alemana: los Rechenmeister Ries, Rudolff y Widman
3.3. Fin de la centuria, un paso más: de la Regla de la cosa a la abstracción simbólica de Viète y Descartes
4. Los matemáticos españoles del siglo XVI
4.1. Juan de Ortega
4.1.1. Conpusición de la arte de la Arismética y de Geometría (Lyon, 1512)
4.2. Marco Aurel
4.2.1. Libro primero de Arithmética algebrática (Valencia, 1552)
4.3. Juan Pérez de Moya
4.3.1. Arithmética práctica y speculativa (Salamanca, 1562)
4.3.2. Manual de contadores (Madrid, 1589)
4.4. Pedro Núñez Salaciense
4.4.1. Libro de Álgebra en Arithmética y Geometría (Amberes, 1567)
II. Lengua y ciencia matemática
1. Lenguaje de especialidad vs. lenguaje general
2. Selección de las voces relativas a la aritmética y el álgebra del siglo XVI
III. Procedencia de las voces matemáticas
1. Voces patrimoniales
2. Voces prestadas de raigambre culta
2.1. Latinismos
2.1.1. Latinismos introducidos antes del siglo XVI
2.1.2. Latinismos introducidos en el Siglo de Oro
2.1.3. Latinismos de origen griego
3. Otras voces prestadas
3.1. Arabismos
3.1.1. Arabismos latinizados
3.2. Italianismos
3.3. Germanismos
3.4. Galicismos
3.5. Catalanismos
3.6. Quechuismos
IV. Procedimientos morfológicos empleados en la creación de las voces matemáticas
1. Voces creadas por derivación
1.1. Prefijación
1.1.1. Prefijos preposicionales
1.1.2. Prefijos adverbiales
1.1.3. Prefijos cuantificadores
1.1.3.1. Numerales
1.1.3.2. Indefinidos
1.2. Sufijación
1.2.1. Sufijados nominales
1.2.1.1. Sufijación apreciativa
1.2.2. Sufijados adjetivales
1.2.2.1. Sufijados adjetivales denumerales
1.2.3. Sufijados verbales
1.2.4. Sufijados adverbiales
1.3. Parasíntesis o circunfijación
2. Voces creadas por composición
2.1. Composición léxica
2.1.1. Acronimia o entrecruzamiento
2.2. Composición sintagmática
3. Voces creadas por regresión
4. Voces sincopadas o abreviadas
4.1. Notaciones de las potencias de la incógnita
4.2. Notaciones de la adición, la sustracción y la igualdad
4.3. Notaciones de las raíces
V. Mecanismos semánticos empleados en la formación de las voces matemáticas
1. Voces creadas mediante mecanismos de neología semántica
1.1. Cambios, trasvases y préstamos semánticos
1.2. Metáforas
1.2.1. Metáforas antropomórficas
1.2.2. Metáforas de acciones y objetos de la vida cotidiana
1.2.3. Metáforas de orientación espacial
1.2.4. Metáforas geométricas
2. Otros mecanismos neológicos de corte semántico
2.2. Epominia
Conclusiones
Referencias bibliográficas
Índice de siglas y abreviaturas de diccionarios
Índice onomástico
Las matemáticas es el lenguaje más adecuado para idealizar la complejidad de la naturaleza y reducirla a una sencillez comprensible (Bell: 65).
El habla de hoy es hija y nieta del habla de ayer y de una serie de ayeres y de anteayeres que se alejan en el pasado; y que la comprensión perfecta de lo que hoy es vivo precisa, no exclusivamente, pero sí también, de la luz que puede darnos el conocimiento de lo que era vivo ayer (Seco: 115).
En el ocaso de la Edad Media, un fuerte movimiento de renovación y transformación en los órdenes social, económico y cultural culminará, entrado el siglo XVI, en el despegue de la ciencia y de la técnica modernas y el asentamiento de las bases científicas en Europa.
No obstante, esta nueva realidad del estado moderno no hubiera sido posible sin el triunfo del espíritu de cálculo (Maravall 1972: 68), que, extendido a todos los ámbitos socioculturales, produjo un auténtico proceso de aritmetización de la realidad e inspiró una nueva configuración del saber, alejada del trivium y quadrivium medievales. En efecto, las aplicaciones del saber matemático a las necesidades sociales en sus dos dimensiones principales, aritmética y geometría, son los pilares fundamentales sobre los que se asienta el desarrollo, así como gran parte de las eminentes innovaciones científico-técnicas, de la época estudiada.
Entre todas las aplicaciones prácticas de estas ciencias exactas, la que mayor importancia tuvo en la España del siglo XVI fue el cálculo mercantil. En consecuencia, a lo largo de la centuria quinientista, se publicaron en español numerosas obras consagradas a las cuentas, vinculadas preferentemente a la preparación cultural del mercader y a la utilización de la cultura matemática como vía burguesa de ascenso y cambio social.
Desde un punto de vista lingüístico, la utilización por vez primera del vernáculo castellano como vehículo de divulgación de estos contenidos en competencia con la lengua latina trajo consigo un hecho revolucionario: la democratización del cálculo (impulsado por el triunfo de los algoristas y la incorporación del 0 al sistema numérico de origen indoarábigo, frente al ineficaz sistema del ábaco), que supuso el abandono del secretismo de los contadores medievales, convirtiéndose, así, la aritmética en una ciencia eminentemente práctica al servicio de tratadistas, comerciantes, banqueros, computistas, etc. Asimismo, en el seno de estos textos de aritmética comercial nace la difusión del álgebra en la Península Ibérica; disciplina que alcanzará a finales de esta centuria, aunque al otro lado de los Pirineos, un desarrollo espectacular.
Así pues, estas obras encierran un gran valor, tanto histórico como lexicológico, a lo que se sumaba, en palabras de Mancho Duque, «el hecho de ser prácticamente desconocidas, dado el marco científico y técnico en que se insertan, tradicionalmente relegado por los historiadores de la lengua española» (2004c: 1231).
En definitiva, la ausencia de investigaciones léxicas sobre el tecnolecto matemático del Renacimiento hispano en su vertiente aritmético-algebraica, relevante por lo que respecta a la historia de la lengua y a la propia historia de la ciencia, nos llevó a considerarlo un objeto de estudio apropiado para la confección de una tesis doctoral1, de cuyo análisis léxico (volumen I)2 emana este libro que presentamos, con el que pretendemos lograr un mejor y más adecuado conocimiento del léxico de la aritmética y el álgebra del Siglo de Oro, así como de la metodología científica en la que ambas disciplinas se enmarcan, y contribuir, en la medida de nuestras modestas posibilidades, a cubrir una de las lagunas de la lexicología histórica.
***
Este libro no hubiera visto la luz sin la ayuda y guía de la Dra. Dña. María Jesús Mancho Duque, quien hace unos años me invitó a redescubrir las matemáticas desde una óptica filológica diacrónica a través del estudio de las voces integradas en los textos tecnocientíficos del Renacimiento hispano. Mil gracias por tus consejos, correcciones, aclaraciones, sugerencias y pautas a lo largo de mi trayectoria académica en general, así como por el entusiasmo y confianza depositada en este trabajo en particular.
Debo agradecer, igualmente, la ayuda que me han brindado en este trascurso de (re)descubrimiento diversos historiadores de las matemáticas y de la ciencia y la técnica. Moltes gràcies a la Dra. Dña. María Rosa Massa, a Dña. Fàtima Romero, al Dr. D. Antoni Vidal y al Dr. D. Carles Puig (del Centre de Recerca per a la Història de la Tècnica «Francesc Santponç i Roca» de de la Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona); al Dr. D. Rafael Mandressi y la Dra. Dña. Antonella Romano (del Centre Alexandre Koyré, París), merci beaucoup.
Asimismo, quiero manifestar mi gratitud a los miembros del tribunal —presidido por el Dr. D. José Antonio Pascual y constituido por él mismo junto con la Dra. Dña. Nieves Sánchez y la Dra. Dña. Antonella Romano— que juzgaron y evaluaron la tesis doctoral de la que, en buena parte, deriva el estudio que en las siguientes páginas puede leerse, por sus sugerencias, puntualizaciones e ideas de mejora, fundamentales para la publicación de esta obra.
Infinitas gracias a mi familia y a todas aquellas personas que, de una u otra forma, me han acompañado y alentado en este camino.
Itziar Molina Sangüesa
Salamanca, febrero de 2017
1 Las matemáticas en el Renacimiento hispano: estudio léxico y glosario (2015, Universidad de Salamanca), cuya realización ha sido posible gracias a la ayuda predoctoral de Formación de Profesorado Universitario (FPU), concedida en 2011 por el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.
2 Confeccionado a partir de la explotación de los datos etimológicos, morfológicos y semánticos registrados en el inventario lexicográfico realizado (de acuerdo con las directrices y metodología avalada por un consolidado grupo de investigaciones lexicológicas y lexicográficas de la Universidad de Salamanca, reconocido como grupo de investigación de excelencia —«GR. 56. Grupo interuniversitario para el estudio de la Historia de la Lengua Española (GIEHLE)»— por la Junta de Castilla y León) en la citada investigación doctoral: Glosario de aritmética y álgebra del Renacimiento hispano (volumen II). Actualmente, este glosario especializado está publicado e integrado entre las voces que conforman el Diccionario de la Ciencia y de la Técnica del Renacimiento (DICTER: <http://dicterusal.es>), proyecto que, desde hace más de una década, lleva a cabo, bajo la dirección de la Dra. Dña. Mª Jesús Mancho Duque, este reconocido equipo de investigadores.
María Jesús Mancho Duque
Las investigaciones lingüísticas transversales, a pesar de la evidente dificultad que entrañan, no dejan de sorprender por la fecundidad de trabajos que suscitan y la variedad de aproximaciones metodológicas que sugieren. Estas encrucijadas del conocimiento, frecuentemente desatendidas por la tradición, ejercen una irresistible atracción entre investigadores jóvenes y entusiastas.
Al poco tiempo de emprender —no sin cierto riesgo— el proyecto del Diccionario de la ciencia y de la técnica del Renacimiento (DICTER), concebido como una empresa colectiva y formadora de futuros investigadores —actualmente accesible desde la red (http://dicter.usal.es/)—, pude darme cuenta de que las áreas de geometría y matemáticas eran cruciales, pues, como advierte lúcida y sistemáticamente Juan de Herrera —en contextos recogidos por Itziar Molina Sangüesa—, están en la base de muchas disciplinas aplicadas de este período. En consecuencia, no es difícil constatar que el léxico matemático se esparce por todos los textos —es decir, los setenta y cuatro— del corpus sobre el que se levanta el DICTER.
No obstante, se erigía una dificultad: el terror reverencial que provocan las ciencias exactas en las mentes de los investigadores de «letras», mucho más cuando es preceptivo internarse en los meandros de los procesos evolutivos de la historia de las mismas, algunos ni siquiera bien conocidos por los propios especialistas.
El léxico de la geometría fue el primero en ser asediado mediante una excelente tesis realizada por un joven becario, que mereció el Premio Extraordinario de la Facultad de Filología del año 2009. Ahora bien, la disciplina geométrica, por tratar de cuestiones espaciales, es menos abstracta que las matemáticas, resulta más «visual» y, por ello, más comprensible. Mientras aguardaba a la persona idónea a quien ofrecer el arduo encargo de enfrentarse al léxico correspondiente a los inicios de la aritmética en castellano y al de los complejos titubeos de los albores del álgebra quinientista, realicé personalmente algunas calas, a manera de incursiones exploratorias, en el campo. Estas prospecciones filológicas fueron determinantes para comprobar la extraordinaria riqueza de los textos y el enorme interés que encerraba la lexicología del registro matemático, tanto para los historiadores de la ciencia como para los estudiosos de la historia del léxico especializado del español y filólogos en general.
Y, por fin, se presentó la ocasión de plantearle el reto a Itziar Molina Sangüesa, becaria de investigación FPU. Previamente, la sometí a la prueba de analizar los numerales con un Trabajo Fin de Máster, que desempeñó una función inicial e iniciática. El estudio, titulado De la «cantidad» al «número»: estudio léxico de los paradigmas numerales en el Renacimiento hispano, recibió impecablemente la máxima puntuación y puso en evidencia el profundo rigor con que aplicaba un método entendido y asimilado inteligentemente, la estricta sistematicidad que desplegaba en el análisis de los paradigmas y la exhaustividad que perseguía afanosamente en la búsqueda de casos y ejemplos. El resto ya fue una coherente consecuencia de tan excelentes comienzos, que cristalizó en una tesis de rango internacional, que mereció la máxima calificación y a la que se otorgó el Premio Extraordinario de la Facultad de Filología de la promoción 2014-2015.
El libro que ahora se ofrece al lector es el resultado de la reelaboración de la primera parte de la tesis. La segunda estaba conformada por un glosario —de más de 2000 fichas lexicográficas— que se ha volcado íntegramente en el DICTER. Las voces y acepciones se reconocen y pueden encontrarse por las marcas Álg., Arit., Mat. y Fil., respectivamente.
La seriedad de las propuestas sobre las que está construido este trabajo queda de manifiesto en la estructuración de la materia en dos grandes bloques. El primero supone una inmersión en el marco histórico donde surge y se desarrolla esta ciencia en castellano en nuestro país. La autora se desenvuelve con gran solidez, como consecuencia de la consulta de numerosa bibliografía especializada, recopilada en la tercera parte de sus referencias («Estudios lingüísticos e históricos»). El genuino entusiasmo con que aborda estas cuestiones se plasma en la sucesión de enunciados como «necesidad de las matemáticas», «utilidad de las matemáticas» o «aplicaciones de las matemáticas», donde se desgrana la serie de profesionales que necesitan de esta disciplina como imprescindible herramienta, a los que se podría añadir, en este año en que se conmemora el centenario de la publicación de la segunda parte de la magna obra cervantina, a los caballeros andantes, tal y como afirmaba don Quijote, asumiendo presupuestos repetidos hasta la saciedad en su época:
Es una ciencia [la caballería] —replicó don Quijote— que encierra en sí todas o las más ciencias del mundo, a causa que el que la profesa […] ha de ser médico, y principalmente herbolario, para conocer en mitad de los despoblados y desiertos las yerbas que tienen virtud de sanar las heridas […]; ha de ser astrólogo, para conocer por las estrellas cuántas horas son pasadas y en qué parte y en qué clima del mundo se halla; ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad de ellas […]. Porque vea vuesa merced, señor don Lorenzo, si es ciencia mocosa lo que aprende el caballero que la estudia y la profesa y si se puede igualar a las más estiradas que en los ginasios y escuelas se enseñan (Don Quijote, 2ª Parte, XVIII).
A partir de los planteamientos teóricos, la autora recala en la organización y planificación de su estudio en las instituciones en el suelo hispano, con la obligada mención de la Academia Real Mathemática, y en el enfoque de los planteamientos de las matemáticas, teóricas o prácticas, según la perspectiva hermenéutica y social que se adoptara previamente.
Seguidamente, presenta una panorámica de la historia de esta ciencia y de su desarrollo desde sus orígenes hasta el Renacimiento. La experiencia obtenida de sus estancias en centros de investigación especializados en historia de las matemáticas, de reconocido prestigio y nivel de excelencia, explican la claridad de su exposición en materias tan complejas como las del álgebra en estos comienzos de su andadura científica.
Esta primera parte se completa con una presentación sintética de los principales matemáticos en España en esta centuria, figuras tanto nacionales —Ortega, Pérez de Moya— como extranjeras —Aurel, Núñez Salaciense— que, afincadas en territorio español, exponen sus obras en castellano.
El segundo de los bloques es ya netamente lingüístico y se centra en el estudio del léxico especializado, que se aborda desde varios flancos. El origen o procedencia de las voces se afronta mediante un riguroso análisis etimológico que deja en evidencia, sobre la base latina patrimonial que nutre el vocabulario principal de las operaciones y reglas básicas, el eminente entronque culto —latino y griego, a través del latín— de una parte primordial de estos términos, como consecuencia de las profundas raíces universitarias del cultivo de esta disciplina desde el período medieval. En este apartado se hace una clasificación de los latinismos según el momento de su integración en la corriente de nuestra lengua, haciendo especial hincapié en los introducidos en el Siglo de Oro, contrastando la información recabada desde el corpus del DICTER con los datos suministrados por el DECH y los extraídos de los corpora académicos, para poder ofrecer un elenco de neologismos matemáticos de esta época. Se destaca, además, la no demasiado intensa aportación árabe, concentrada especialmente en el léxico del álgebra o almucábola, la presencia de algún italianismo semántico como la Regla de la cosa —es decir, de la «incógnita»—, junto al testimonio de ciertos germanismos, catalanismos y galicismos.
A continuación, se analiza exhaustivamente la estructura morfológica de los términos a través de los principales mecanismos creativos procedentes de la derivación y de la composición, junto a los esquemas esenciales de la parasíntesis. Los prefijos, no muy abundantes, revelan una ascendencia latina, y entre ellos sobresalen los cuantificadores. En cuanto a los sufijos, los morfemas más productivos y numerosos se presentan clasificados: nominales, adjetivales —generadores, a su vez, de series nominales—, verbales y adverbiales, con el resultado de un claro predominio de la categoría nominal.
Por lo que respecta al segundo de los procedimientos morfológicos, la composición, predominan los compuestos léxicos como resultado de la combinación de determinados paradigmas numerales, que la autora organiza con sistemático y pormenorizado rigor. En lo que se refiere a la composición sintagmática, de enorme rentabilidad y generadora de numerosos neologismos matemáticos, se presentan los principales grupos según los esquemas de mayor rendimiento: sustantivo más sustantivo, precedido o no de preposición, sustantivo más adjetivo, adjetivo más sustantivo, etc. Destacan los compuestos de número, que ascienden, según cómputo de la autora, a más de cuarenta tipos.
Finaliza este apartado con una presentación de voces surgidas a partir de mecanismos regresivos o por acortamiento. Interesa este último aspecto, ya que el álgebra quinientista es todavía sincopada, es decir: no ha alcanzado aún la etapa simbólica, por lo que, para la designación de las raíces y de las potencias de la incógnita, proliferan las abreviaturas que los matemáticos hispanos introducen siguiendo la tradición italiana instaurada por Pacioli, frente a la corriente alemana preferida, por ejemplo, por Marco Aurel.
El siguiente capítulo ofrece una sugestiva selección de mecanismos semánticos que intervienen en la creación del léxico matemático, a partir de los trasvases del léxico general al especializado en este ámbito, con una interesante relación entre letras y números que testimonia la proximidad original de ambos conjuntos. Pero también se presentan los cambios producidos en términos que pasan de un lenguaje especializado a otro, como a la geometría o a la cantería; así como las dinámicas que se producen en otros desplazamientos o en los préstamos semánticos de diferentes lenguas. Especial interés revisten los procedimientos metafóricos, muy rentables, donde predominan los antropomórficos, sin que falte la personificación de ciertos elementos matemáticos, las metáforas «biológicas», las de orientación espacial —en sus varias dimensiones—, las geométricas —con sus disposiciones y esquemas— o las de la vida cotidiana —con sorprendentes gráficos ilustrativos, como, para ciertas operaciones, los métodos del ajedrez, de la escalera, de la pirámide, de la galera, etc.—. Interesan también los recursos metonímicos, así como otros más específicos entre los que aparece la eponimia, originadora de los términos guarismo y algoritmo, por seleccionar alguno de los casos más conocidos.
En una apretada y muy útil síntesis final, la autora recapitula los principales aspectos de su estudio y resalta las principales conclusiones que se derivan del mismo.
Gracias a esta monografía, consecuencia del trabajo metódico y refinado de Itziar Molina Sangüesa, disponemos los lectores de hoy de unas ideas mucho más exactas, valga la redundancia, acerca de la configuración del léxico matemático en los momentos de su divulgación en castellano en el Siglo de Oro, del ambiente cultural en que floreció esta rama del saber y de los principales representantes que la cultivaron y que se vieron obligados a crear y recrear una terminología adecuada a su objeto en una época clave para su posterior evolución.
El siglo XVI en España puede considerarse como una época de despegue de la ciencia y de la técnica modernas. No obstante, este hecho no hubiera sido posible sin las matemáticas, disciplina que abarca diferentes ramas del conocimiento. El saber matemático se concibe como «un tipo de saber, que, de alguna manera, se encuentra en la base de todos los otros» (Flórez 2001: 41), un saber clave, por tanto, en la modernidad.
En efecto, se ha defendido la idea de que estas ciencias exactas se erigen como motor de la renovación y del desarrollo científico-técnico del Renacimiento, aspectos que intentaremos demostrar en el siguiente apartado, en el que detallamos, por un lado, la necesidad y utilidad de este saber en la centuria quinientista hispana y, por otro, las aplicaciones de las matemáticas a otras ramas científico-técnicas que o bien emergen o bien experimentan una notable evolución, ligada a una gran repercusión social y cultural, en la época estudiada.
De acuerdo con Esteban Piñeiro y Vicente Maroto, consideramos que para conocer el «estado» de una determinada rama científica en un momento histórico dado
no basta analizar sus manifestaciones y realizaciones concretas y específicas; es preciso, además, estudiar su relación con la comunidad o grupo social que le sirve de soporte. En este sentido, resulta imprescindible precisar el grado de aceptación con que la citada materia o disciplina es acogida y cultivada, lo cual está en íntima relación con la idea sobre su utilidad y necesidad (596).
En este sentido, los matemáticos españoles del XVI, como el jienense Pérez de Moya, aseveran en sus tratados que la aritmética debe ser conocida por todo aquel que se considere un hombre racional: «las quatro reglas generales de Arithmética, conviene saber: summar, restar, multiplicar, partir por números enteros, cosa muy necessaria para el servicio de la vida humana y digna de ser sabida de todo hombre que desseare ser puesto en el número de los que sienten d’esta razón» (1562: X) 1.
Igualmente, esta premisa es compartida por el maestro Alejo Venegas en el prólogo dirigido al «benévolo y pío lector» de su Aritmética práctica y speculativa, en el que explica:
el presente libro trata de cuenta, que en latín se dize ratio, pues d’ella se llama el hombre animal racional, que es animal que solo entre los animales sabe de cuenta. Fuera de razón sería querer persuadir al hombre racional que quiera entender la cuenta, por quien él tiene nombre distincto de todos los animales, porque no es razón que digamos que usa de cuenta el que no tiene cuenta con otro; y no la tendrá con otro el que no la tiene consigo; y no la tendrá consigo el que de qualquier estado y condición que sea no quisiere aprimar y polir por arte lo que naturalmente dessea saber, que es tener cuenta y razón de todas las cosas que a la memoria le vienen. La virtud de la cuenta es tan innumerable, que solo Dios es el que la puede acabar de contar; teniendo sus ciertos límites todas las otras sciencias, sola ésta, de la qual el hombre se dize racional, no tiene fin (1562: XII-XIII).
Esta ciencia es, por tanto, según palabras del censor, «natural a todos los hombres», en tanto que son animales racionales. Así, el saber de cuentas y, en definitiva, de la ciencia —aritmética— de la que estas emergen, es, además de necesario y útil, consustancial a su propia naturaleza.
Por otra parte, en el noveno y último libro2 de la aritmética más difundida de la centuria, Pérez de Moya inserta un diálogo didáctico en el que, además de entretener al lector con amenidades matemáticas y juegos de ingenio de larga tradición3, se exalta y defiende el valor y la dignidad de esta disciplina, la cual, en palabras de Sofronio, es «entre todas las artes liberales, una de las más excellentes y necessarias» (1562: 686).
De manera análoga, varios autores, tanto matemáticos como representantes de otras áreas científico-técnicas, ensalzan en los prólogos de esta literatura del XVI las excelencias que caracterizan a las ciencias exactas:
Que la sciencia mathemática, entre todas las Artes liberales, muy Magnífico Señor, sea la más clara y la más cierta y necessaria es cosa evidente, pues sola ella (y principalmente lo que en ella se trata) es la que con más claras y abundosas demonstraciones se demuestra (Aurel: f. IIr).
Mathemáticas […] manifiestan el méthodo verdadero y orden de saber, disponiendo el entendimiento para que, levantados sobre las cosas materiales y sensibles, suban a la contemplación de las sobrenaturales y intelligibles (Herrera: f. 4v).
Entre todas las sciencias humanas, las que más ennoblecen y illustran los hombres, y entre otros a los príncipes y personas preeminentes, son las Mathemáticas, las quales, con su variedad, no solamente deleytan el entendimiento, pero aun entretienen los sentidos. ¿Qué cosa más gustosa para el entendimiento4 humano que una linda demostración mathemática? (Roiz: s/p).
Por otro lado, la necesidad o la utilidad de las matemáticas en aspectos cotidianos de la sociedad de la época, como evitar los —al parecer, bastante frecuentes— fraudes económicos, se convierte en la causa o justificación de la composición de multitud de aritméticas prácticas o mercantiles (véase § 2.2), como la de Juan de Ortega, redactadas en vernáculo —pues, expone el dominico, «el bien tanto es bien en quanto es comunicable» (f. 1v)— y dirigidas a una extensa franja social. Así lo certifica en el prólogo el matemático palentino, donde puede leerse:
Yo, movido con el zelo que Dios es testigo y porque no pasasen tantos fraudes como pasan por el mundo acerca de las cuentas, pues que yo recebí este don de Dios, determiné con todas mis fuerças de trabajar, de atajar este camino errado, por donde Dios tanto se ofende, como es con los fraudes hechos a los que poco saben (s/p).
Esta concepción se reitera en los textos matemáticos del Quinientos hispano y reaparece en el diálogo que cierra la obra del bachiller Pérez de Moya, en el que el protagonista defensor de la aritmética, Sofronio, concluye un magistral parlamento en defensa y apología de esta ciencia, mediante la afirmación de su utilidad para evitar los fraudes o los engaños producidos «por los tratantes de ruin consciencia» a los que carecen de los preceptos de este arte, y establece un símil en el que la aritmética, por ser como un cartabón, dice, es una «herramienta con que se mide la verdad y la mentira» (1562: 688).
A partir de la segunda mitad del siglo XVI es perceptible en el ámbito europeo un claro impulso de la ciencia y de la técnica modernas, auspiciado, en buena medida, por el desarrollo de las matemáticas —especialmente la geometría5— aplicadas a numerosas disciplinas que requieren de esta ciencia como elemento auxiliar. Idea que recalca el matemático alemán Marco Aurel en el prólogo de su Libro primero de Arithmética algebrática (1552), al afirmar que no es posible «intentar de alcançar qualesquier otras disciplinas sin el conoscimiento d’ésta, pues veemos que de sola ésta todas las otras toman su luz y resplandor» (s/p).
Por consiguiente, tal y como se testimonia en los siguientes extractos, plateros, arquitectos, astrólogos y demás expertos tecnocientíficos requerían de un conocimiento interdisciplinar, caracterizado por una sólida formación de base matemática:
Al platero le conviene la Aritmética para la redución de los quilates del oro y plata, y para quadrar los números y valores de las piedras preciosas, para saber el valor que terná la grande en comparación de la chica y, al contrario, como lo enseñamos en nuestro Quilatador, y el peso y costa que terná qualquier pieça, según su traça y forma (Arphe y Villafañe 1585: prólogo).
En la primera parte trata cómo se reduzirán todos los paños y telas anchas en otros paños o telas más angostas, aprovechándome para este efeto de muchas reglas del Arithmética para hazer estas reduciones ciertas y verdaderas (Alcega: prólogo).
Una muestra detallada y profusa a este respecto aparece en la introducción general que Pérez de Moya dirige al lector de su Manual de Contadores (1589: ff. 1r-4v), en la que incide sobre el carácter instrumental que poseen las diferentes ramas de las matemáticas (a saber, aritmética y geometría) para las aplicaciones de otras ciencias, así como técnicas, artes u oficios de la época, desgranadas en las siguientes líneas:
Los plateros, para las aleaciones de oro y plata, lean el libro quarto, plana 283, capítulo 13.
Los lapidarios, o tratantes de perlas o piedras preciosas, lean el libro 4, plana 296, capítulo 14.
El soldado, para hazer esquadrones y para otras cosas de su arte, lea la demanda quarta del capítulo 50, plana 560 del de Arismética; […].
Los labradores lean el libro 10, folio 738, artículo 24 y 42; […].
El que quisiere saber cosas del tiempo, lea el libro décimo de Arismética, plana 719, capítulo 38, desde el artículo primero hasta el artículo 20.
El que quisiere saber el cómputo para sacar la celebración de las fiestas movibles lea el libro décimo, folio 719, desde el artículo 20 del capítulo 38 hasta el artículo 41 […]. Los albañires lean el libro 3 de Geometría, folio 186, capítulo 18 hasta el capítulo 24; y el libro 4, folio 200, capítulos 2, 4, 6, 7, 8, 9, etc., hasta el capítulo 30, y en la plana 247, capítulo 34.
Los reloxeros y los que quisieren saber la hora de día o de noche, y hazer reloxes con agua o arena, lean el tratado de Astronomía, libro 3, folio 203.
Los marineros o pilotos lean el primero libro de Astronomía, plana 7, capítulo 1, artículos 22, 23, 31; y en el capítulo 22, folio 54, […].
Los aficionados a la Astronomía lean el primero libro d’este título, plana 28, capítulos 5, 6, 8, 9, hasta el capítulo 26 arreo; y en el 3 libro de Arismética, plana 226, capítulo 27; […].
El legista, para entender algunas leyes que suelen remitir a contadores, por consistir en cosas de cuenta, como lo son las haeredibus instituendis, et de liberis et posthumis, y otras, lea el libro 4 de Arismética, plana 302, artículo primero; y la plana 305, artículo 5, y la plana 308, artículo 7.
La carencia en España de técnicos y científicos desencadenó que, desde los inicios de la segunda mitad del siglo XVI, se planteara la conveniencia de establecer en la Corte real una institución dedicada a la formación científico-técnica6 que permitiera a la monarquía española satisfacer las necesidades técnicas demandadas por la defensa de su imperio (cf. Cañizares, Portuondo) y requeridas para el desarrollo de sus dominios (cf. Esteban Piñeiro y Vicente Maroto 1991, Pardo). Así, gracias a la labor e iniciativa del arquitecto de El Escorial, Juan de Herrera (1530-1597), aposentador mayor del rey Felipe II, se fundó la Academia Real Mathemática de Madrid, de la que fue también su primer director en 1582.
Como reconoce López Piñero, en esta iniciativa pesó, en primer término, la preocupación existente en la España de fin del siglo XVI por fomentar la enseñanza de las matemáticas, con vistas a aplicaciones de carácter pragmático. Esas aplicaciones tenían vertientes tan dispares como el cálculo mercantil, la astrología, el arte de navegar y la fundamentación de la cosmografía o el uso para problemas concretos del arte militar y la técnica de la construcción, cuyo interés era «que se promoviera en todas las ciudades la organización de cursos de matemáticas por el aprovechamiento de los oficios públicos que resultaran de la misma ciencia» (1979: 104) y paliar, así, la urgente necesidad de especialistas:
Ha sido Su Magestad servido que en su Corte aya una lectión pública de Mathemáticas, trayendo para ello personas eminentes que las lean y enseñen pública y graciosamente a todos los que las quisieren oýr, y con esto, por medio de su liberalidad y magnificencia real, sus súbditos se habiliten y ennoblezcan en estas facultades, y en sus reynos aya, sin esperarlos de otros, arithméticos theóricos y prácticos que, con fundamento de sciencia y verdad demonstrada, puedan determinar las dubdas y qüestiones escondidas que le offrecen en todas las sciencias y artes, no se hallando ninguna que dexe de aver menester algo de la Arithmética, qual más o qual menos; y para que aya geómetras diestros en el medir todo género de superficies, cuerpos, campos y tierras; astrónomos intelligentes y fundados en la Astronomía y sciencia del curso y movimiento de los cielos; músicos expertos en la theórica, sin la qual es impossible que sepan dar razón demonstrativa de las consonancias musicales; cosmógraphos scientíficos para situar las tierras y descrivir las provincias y regiones; pilotos diestros y cursados que naveguen la mar y sepan guiar con seguridad las grandes flotas y poderosas armadas, que d’estos reynos para todo el mundo salen y navegan; architectos y fortificadores fundados y curiosos que, con fábricas magníficas y edificios públicos y particulares, ennoblezcan las ciudades y las fortifiquen y defendan, assegurándolas del ímpetu de los enemigos; ingenieros y machinistas entendidos en la arte de los pesos, fundamento para hazer y entender todo género de máchinas de que la vida política y económica se sirve; artilleros y maestros de instrumentos y aparatos béllicos y fuegos artificiales, para las baterías y otros usos y necessidades de las guerras (Herrera: ff. 1v-2v).
Sus objetivos, así como el contenido de las lecturas y la relación de textos recomendados, «se redactaron y recogieron en 1583 por el propio Juan de Herrera en un escrito que pretendió que fueran los Estatutos de la Academia» (Piñeiro 2002-2003: 10), que este publicó a finales de 1584 con el título de Institución de la Academia Real Mathemática, en el que se detallan los libros y textos que debieran leerse en función de los objetivos de los alumnos:
Porque, aviéndose de leer en la Corte la Cáthedra de Mathemáticas que Vuestra Magestad ha mandado instituyr para ennoblecimiento d’ella y bien universal, sepan los que quisieren aprovecharse el fin que en ello se tiene y lo que para conseguirle se ha de hazer, he puesto en este quaderno brevemente el intento de Vuestra Magestad en mandarlo, los libros y autores que se han de leer en la Academia y lo que se ha de presuponer para la aprovación de los que en algo de lo que se leyere quisieren ser examinados y aprovados (s/p).
Todos estos libros presentan un denominador común: una base matemática, dado que, en palabras de su fundador, las disciplinas matemáticas «abren la entrada y puerta a todas las demás sciencias por su gran certitud y mucha evidencia, donde tomaron el nombre de Mathemáticas o disciplinas, que todo es uno» (f. 4v). Es decir, Herrera defiende el papel de las matemáticas como fundamento general del saber científico, tal y como reconocen varios intelectuales de la centuria:
Entre las virtudes, tanto es alguna mayor, quanto con las otras más se comunica, por lo qual la virtud de la justicia es más perfecta entre las otras virtudes, porque más comunica y participa con todas. Pues assí, entre las artes, el Arte de la Navegación es más excelente que las otras, pues no solo comunica con ellas, mas incluye en sí las más principales, es a saber: Arithmética, Geometría, Astrología. Éstas tienen excelencia entre las Mathemáticas por la demostración veríssima que de sus conclusiones hazen (Medina 1545: s/p).
Mal se pueden conquistar ni ganar reynos no descubiertos; mal se pueden saber sitiar las ciudades sabidas, vistas y andadas sin Mathemática; mal se puede saber ordenar un exército sin Aristhmética, y, finalmente, mal se pudiera aver sacado la brújola, dimensión y orden del artillería sin ellas (García de Palacio 1583: ff. 38v-39r).
El arte de navegar fue una de las disciplinas a las que más atención prestó esta institución7; por consiguiente, la actividad de la Academia se centró eminentemente en los problemas de náutica o navegación, así como en las técnicas militares y de guerra8 o en la técnica de la construcción (cf. López Piñero, Navarro y Portela: 7-8).
En contraste con la enseñanza universitaria, por voluntad real, dispone Herrera en la Institucion (1584) el hecho fundamental de que todas las enseñanzas «se lean en nuestra lengua castellana, para que tanto bien sea a todos más fácilmente aprehendido y comunicado» y no en latín, de forma que se sorteaba el obstáculo que para los no universitarios suponía el desconocimiento de la lengua de Roma. Asimismo, se efectuaron numerosas traducciones al vulgar castellano de textos científicos que eran empleados para la formación de cosmógrafos, ingenieros y demás especialistas en dicha institución (cf. Mancho y Sánchez). Estas lecciones, admite López Piñero, tenían a menudo «carácter práctico, para lo que se contaba con abundantes instrumentos» (1979: 106).
La Academia cayó en decadencia medio siglo después, en 1624, y fue entonces absorbida por los Estudios reales de San Isidro o Colegio de Jesuitas (Rey Pastor: 143)9.
La actividad en torno a la aritmética se desarrolló en la sociedad española de la época del Renacimiento en dos vertientes claramente diferenciadas: una teórica o especulativa —cultivada en las universidades, en el seno de la cultura académica de tradición bajomedieval— y otra práctica, esta última aplicada al cálculo mercantil —demandada por la incipiente burguesía y por el capitalismo económico—. Esta dicotomía dio lugar a una evolución divergente de la ciencia de los números en el Siglo de Oro, dado que de la misma emergen dos géneros totalmente autónomos y con objetivos distintos.
Por un lado, nos encontramos ante una aritmética «académica o universitaria, dedicada al estudio de las propiedades de los números enteros y relaciones entre magnitudes, que tenía un carácter propedéutico en disciplinas anejas, como la música, la filosofía, etc.» (Salavert Fabiani 1994: 52). En el mundo universitario, las matemáticas, en general, y la aritmética en particular, se entendían como instrumentos para facilitar el razonamiento filosófico10; en ellas era notable la falta de ejercicios prácticos y ejemplos, mientras que abundaban las definiciones y comentarios de tipo escolástico. Asimismo, lo numérico devenía en una numerología de marcado carácter pitagórico, muy influida por antiguos autores griegos y latinos como Nicómaco o Boecio. En este contexto las matemáticas eran uno de los «saberes teóricos cristalizado[s] como discurso científico a través de una larga tradición» (López Piñero 1979: 41), sin innovaciones ni evolución alguna, pues continuaban la doctrina de los autores del siglo V.
El enfoque de esta vertiente teórica era culto y elitista, reducido a una minoría escasa y selecta que pudiera tener acceso a los claustros universitarios, en los que las doctrinas, como era habitual, se enseñaban en latín. Entre los representantes más ilustres dedicados a la difusión y desarrollo de la aritmética teórica sobresalen los matemáticos Gaspar Lax (1487-1560), Juan Martínez Guijarro (1477-1557) —más conocido por su nombre latinizado: Silíceo— y Pedro Sánchez Ciruelo (1470-1548)11. La mayoría, una vez formados en Salamanca, imparten sus lecciones y obtienen insignes cátedras en la Sorbona de París, alzándose como representantes de unas matemáticas estancadas, en comparación con las desarrolladas en Italia y Alemania a lo largo del siglo XVI, dado que «el saber teórico que se autoproduce en las universidades, cuando no participa de las necesidades sociales de la época (lo cual pasa en la mayoría de ocasiones), se transforma en estéril y permanece como un hecho marginal, que poco a poco se consume sin ninguna consecuencia» (Paradis: 138).
Por otro lado, la aritmética práctica, «concebida como útil herramienta de cálculo para la resolución de los problemas de la aritmética comercial» (Salavert Fabiani 1994: 52), se erige como la disciplina que vertebra el despegue del llamado capitalismo comercial. De acuerdo con José Antonio Maravall, «el dinamismo económico, en el siglo XV, y no menos en el XVI, permite, como hasta entonces no se podía imaginar, la adquisición de riquezas nuevas, lo que trae consigo una movilidad social que se manifiesta sobre todo en esa esfera intermedia, en ese “estado llano” o de gente ciudadana, en el que se encuentran mercaderes, burócratas, letrados, etc.» (1972: 128). Es decir, el denominado animus lucrandi o afán de riqueza de la clase burguesa se convierte en el impulso general o primer síntoma del Renacimiento como época de iniciación del capitalismo (cf. Maravall 1984: 22, Swetz 1987).
En los últimos siglos del otoño medieval, se constata la conciencia de vivir una nueva época, caracterizada por un fuerte movimiento de renovación impulsado por amplios grupos de personas cultas de las sociedades europeas —primero en Italia, y, algo más tarde, en otros países, como España o Francia—. Según Maravall, «el cálculo mercantil y la contabilidad que practica el burgués en sus negocios nos dan la estampa de la nueva actitud, la cual se encuentra difundida por todas partes» (1984: 69), pues, el espíritu del cálculo es una manifestación del Renacimiento que «acaba proyectándose sobre todos los aspectos de la cultura e inspirando un nuevo y admirable desarrollo de la ciencia y de la filosofía» (1972: 170).
En efecto, entre todas las aplicaciones prácticas de las matemáticas, la que mayor importancia tuvo en la España del siglo XVI fue el cálculo mercantil. A lo largo de esta centuria se publican numerosas obras consagradas a las cuentas, vinculadas preferentemente a la preparación cultural del mercader (Docampo 2004) y a la utilización de la cultura matemática como vía burguesa de ascenso y cambio social12.
Los numerosos y pujantes centros urbanos renacentistas impulsan que esta «nueva ciudad» se consagre como centro de negocios, motivo por el que muchos de sus ciudadanos requirieron de mayor preparación para el ejercicio de la imperante actividad comercial y financiera. Una buena parte de esa formación fue proporcionada por la aritmética, ya que se hicieron imprescindibles cálculos precisos para resolver series de problemas cotidianos13. Así pues, la aritmética occidental de la baja Edad Media y comienzos del siglo XVI aparece íntimamente ligada a la expansión urbana y comercial, como herramienta de apoyo a unas actividades contables y fiscales.
La rápida expansión del comercio determinó la difusión de nuevas técnicas comerciales y «estimuló enormemente el desarrollo de la aritmética, una aritmética mercantil con fines claramente pragmáticos» (Caunedo 2000: 43), concebida como un instrumento de trabajo que ayudaba a resolver situaciones que se presentaban en la vida cotidiana, tanto en los grandes comercios como en el mercado local. De este modo, las matemáticas dejan de ser en el Quinientos aquellos enunciados de proposiciones euclídeas que planteaban resultados conocidos para convertirse en una ciencia de resolución de problemas interrelacionados con las otras ciencias y la sociedad.
En definitiva, estos tratados de aritmética práctica son reflejo de una sociedad que necesita de estas técnicas para el desarrollo de la actividad profesional en el campo mercantil y financiero, y «por esta razón, los valores monetarios y los tipos de cambios consiguieron, desde el principio, un lugar destacado en sus páginas» (Salavert Fabiani 1994: 56), como veremos en el apartado 4.
Mientras que las matemáticas «especulativas» apenas consiguieron interesar, sus aplicaciones prácticas «constituyeron un motivo de seria preocupación que la sociedad española mantuvo a lo largo de toda la centuria» (López Piñero 1979: 169)14. De ahí que, en aras de favorecer la difusión social a una franja más extensa de la población —plagada de inquietudes intelectuales y necesidades prácticas— de la vertiente aplicada de la ciencia de los números, se utilizara en el Quinientos la lengua vulgar como vehículo para la expresión de las ciencias exactas:
A la hora de redactar sus obras los autores se ven obligados a elegir entre el latín y el vernáculo, en tanto que instrumentos de comunicación científica. Quienes optan por el castellano, esgrimen en sus prólogos diferentes razones, entre las que priman la necesidad de las materias, la escasez de obras especializadas en castellano, el perjuicio que se deriva para la nación española de tal carencia y, sobre todo, la existencia de una amplia gama de lectores potenciales desconocedores de la lengua del Lacio (Mancho Duque 2005a: 27).